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Z3 - Satisfiability Modulo Theories (SMT)

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매우 기본적으로, 이 도구는 우리가 만족해야 하는 조건을 충족하는 변수의 값을 찾는 데 도움을 줄 것이며, 수작업으로 계산하는 것은 매우 귀찮을 것입니다. 따라서 Z3에 변수들이 충족해야 하는 조건을 지정하면, 가능한 경우 일부 값을 찾아낼 것입니다.

일부 텍스트와 예시는 https://ericpony.github.io/z3py-tutorial/guide-examples.htm에서 추출되었습니다.

기본 작업

불리언/그리고/또는/아니다

#pip3 install z3-solver
from z3 import *
s = Solver() #The solver will be given the conditions

x = Bool("x") #Declare the symbos x, y and z
y = Bool("y")
z = Bool("z")

# (x or y or !z) and y
s.add(And(Or(x,y,Not(z)),y))
s.check() #If response is "sat" then the model is satifable, if "unsat" something is wrong
print(s.model()) #Print valid values to satisfy the model

Ints/Simplify/Reals

from z3 import *

x = Int('x')
y = Int('y')
#Simplify a "complex" ecuation
print(simplify(And(x + 1 >= 3, x**2 + x**2 + y**2 + 2 >= 5)))
#And(x >= 2, 2*x**2 + y**2 >= 3)

#Note that Z3 is capable to treat irrational numbers (An irrational algebraic number is a root of a polynomial with integer coefficients. Internally, Z3 represents all these numbers precisely.)
#so you can get the decimals you need from the solution
r1 = Real('r1')
r2 = Real('r2')
#Solve the ecuation
print(solve(r1**2 + r2**2 == 3, r1**3 == 2))
#Solve the ecuation with 30 decimals
set_option(precision=30)
print(solve(r1**2 + r2**2 == 3, r1**3 == 2))

모델 출력

from z3 import *

x, y, z = Reals('x y z')
s = Solver()
s.add(x > 1, y > 1, x + y > 3, z - x < 10)
s.check()

m = s.model()
print ("x = %s" % m[x])
for d in m.decls():
print("%s = %s" % (d.name(), m[d]))

머신 산술

현대 CPU와 주류 프로그래밍 언어는 고정 크기 비트 벡터에 대한 산술을 사용합니다. 머신 산술은 Z3Py에서 비트 벡터로 제공됩니다.

from z3 import *

x = BitVec('x', 16) #Bit vector variable "x" of length 16 bit
y = BitVec('y', 16)

e = BitVecVal(10, 16) #Bit vector with value 10 of length 16bits
a = BitVecVal(-1, 16)
b = BitVecVal(65535, 16)
print(simplify(a == b)) #This is True!
a = BitVecVal(-1, 32)
b = BitVecVal(65535, 32)
print(simplify(a == b)) #This is False

Signed/Unsigned Numbers

Z3는 비트 벡터가 부호가 있는지 없는지에 따라 차이가 나는 특별한 부호 있는 버전의 산술 연산을 제공합니다. Z3Py에서 연산자 **<, <=, >, >=, /, % 및 >>**는 부호 있는 버전에 해당합니다. 해당하는 부호 없는 연산자는 **ULT, ULE, UGT, UGE, UDiv, URem 및 LShR.**입니다.

from z3 import *

# Create to bit-vectors of size 32
x, y = BitVecs('x y', 32)
solve(x + y == 2, x > 0, y > 0)

# Bit-wise operators
# & bit-wise and
# | bit-wise or
# ~ bit-wise not
solve(x & y == ~y)
solve(x < 0)

# using unsigned version of <
solve(ULT(x, 0))

Functions

해석된 함수는 산술과 같은 것으로, **함수 +**는 고정된 표준 해석을 가지고 있습니다(두 숫자를 더합니다). 해석되지 않은 함수와 상수는 최대 유연성을 가지고 있으며, 이는 함수나 상수에 대한 제약과 일관된 모든 해석을 허용합니다.

예: f가 x에 두 번 적용되면 다시 x가 되지만, f가 x에 한 번 적용되면 x와 다릅니다.

from z3 import *

x = Int('x')
y = Int('y')
f = Function('f', IntSort(), IntSort())
s = Solver()
s.add(f(f(x)) == x, f(x) == y, x != y)
s.check()
m = s.model()
print("f(f(x)) =", m.evaluate(f(f(x))))
print("f(x)    =", m.evaluate(f(x)))

print(m.evaluate(f(2)))
s.add(f(x) == 4) #Find the value that generates 4 as response
s.check()
print(m.model())

예제

스도쿠 해결기

# 9x9 matrix of integer variables
X = [ [ Int("x_%s_%s" % (i+1, j+1)) for j in range(9) ]
for i in range(9) ]

# each cell contains a value in {1, ..., 9}
cells_c  = [ And(1 <= X[i][j], X[i][j] <= 9)
for i in range(9) for j in range(9) ]

# each row contains a digit at most once
rows_c   = [ Distinct(X[i]) for i in range(9) ]

# each column contains a digit at most once
cols_c   = [ Distinct([ X[i][j] for i in range(9) ])
for j in range(9) ]

# each 3x3 square contains a digit at most once
sq_c     = [ Distinct([ X[3*i0 + i][3*j0 + j]
for i in range(3) for j in range(3) ])
for i0 in range(3) for j0 in range(3) ]

sudoku_c = cells_c + rows_c + cols_c + sq_c

# sudoku instance, we use '0' for empty cells
instance = ((0,0,0,0,9,4,0,3,0),
(0,0,0,5,1,0,0,0,7),
(0,8,9,0,0,0,0,4,0),
(0,0,0,0,0,0,2,0,8),
(0,6,0,2,0,1,0,5,0),
(1,0,2,0,0,0,0,0,0),
(0,7,0,0,0,0,5,2,0),
(9,0,0,0,6,5,0,0,0),
(0,4,0,9,7,0,0,0,0))

instance_c = [ If(instance[i][j] == 0,
True,
X[i][j] == instance[i][j])
for i in range(9) for j in range(9) ]

s = Solver()
s.add(sudoku_c + instance_c)
if s.check() == sat:
m = s.model()
r = [ [ m.evaluate(X[i][j]) for j in range(9) ]
for i in range(9) ]
print_matrix(r)
else:
print "failed to solve"

References

AWS 해킹 배우기 및 연습하기:HackTricks Training AWS Red Team Expert (ARTE) GCP 해킹 배우기 및 연습하기: HackTricks Training GCP Red Team Expert (GRTE)

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