Z3 - Satisfiability Modulo Theories (SMT)

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매우 기본적으로, 이 도구는 변수가 일부 조건을 만족해야 하는 값을 찾는 데 도움을 줍니다. 이러한 값을 수동으로 계산하는 것은 매우 귀찮을 수 있습니다. 따라서, Z3에 변수가 만족해야 하는 조건을 지정하면 (가능한 경우) 일부 값을 찾아줍니다.

일부 텍스트와 예제는 https://ericpony.github.io/z3py-tutorial/guide-examples.htm에서 가져온 것입니다.

기본 작업

부울/And/Or/Not

#pip3 install z3-solver
from z3 import *
s = Solver() #The solver will be given the conditions

x = Bool("x") #Declare the symbos x, y and z
y = Bool("y")
z = Bool("z")

# (x or y or !z) and y
s.add(And(Or(x,y,Not(z)),y))
s.check() #If response is "sat" then the model is satifable, if "unsat" something is wrong
print(s.model()) #Print valid values to satisfy the model

정수/단순화/실수

SMT(Satisfiability Modulo Theories) 문제를 해결하기 위해 Z3는 정수, 단순화 및 실수와 관련된 다양한 기능을 제공합니다.

정수(Integers)

Z3는 정수 연산을 지원하며, 다음과 같은 연산자를 사용할 수 있습니다.

+: 덧셈
-: 뺄셈
*: 곱셈
/: 나눗셈
%: 나머지
div: 몫
mod: 나머지
abs: 절댓값
^: 거듭제곱

또한, 비교 연산자도 사용할 수 있습니다.

=: 같음
!=: 같지 않음
<: 작음
>: 큼
<=: 작거나 같음
>=: 크거나 같음

단순화(Simplification)

Z3는 식을 단순화하는 기능을 제공합니다. 이를 통해 복잡한 식을 간단하게 표현할 수 있습니다. 단순화는 simplify() 함수를 사용하여 수행할 수 있습니다.

실수(Reals)

Z3는 실수 연산을 지원하며, 다음과 같은 연산자를 사용할 수 있습니다.

+: 덧셈
-: 뺄셈
*: 곱셈
/: 나눗셈
^: 거듭제곱

또한, 비교 연산자도 사용할 수 있습니다.

=: 같음
!=: 같지 않음
<: 작음
>: 큼
<=: 작거나 같음
>=: 크거나 같음

Z3는 실수 연산에 대한 정확한 결과를 제공하지 않을 수 있으므로, 주의가 필요합니다.

from z3 import *

x = Int('x')
y = Int('y')
#Simplify a "complex" ecuation
print(simplify(And(x + 1 >= 3, x**2 + x**2 + y**2 + 2 >= 5)))
#And(x >= 2, 2*x**2 + y**2 >= 3)

#Note that Z3 is capable to treat irrational numbers (An irrational algebraic number is a root of a polynomial with integer coefficients. Internally, Z3 represents all these numbers precisely.)
#so you can get the decimals you need from the solution
r1 = Real('r1')
r2 = Real('r2')
#Solve the ecuation
print(solve(r1**2 + r2**2 == 3, r1**3 == 2))
#Solve the ecuation with 30 decimals
set_option(precision=30)
print(solve(r1**2 + r2**2 == 3, r1**3 == 2))

모델 출력

To print the model, you can use the model object returned by the solver. The model object contains the assignments for each variable in the formula.

To print the assignments, you can iterate over the variables and use the eval method to get the assigned value.

Here is an example:

for variable in model:
    value = model.eval(variable)
    print(f"{variable} = {value}")

This will print each variable along with its assigned value.

from z3 import *

x, y, z = Reals('x y z')
s = Solver()
s.add(x > 1, y > 1, x + y > 3, z - x < 10)
s.check()

m = s.model()
print ("x = %s" % m[x])
for d in m.decls():
print("%s = %s" % (d.name(), m[d]))

기계 산술

현대의 CPU와 주류 프로그래밍 언어는 고정 크기 비트 벡터를 사용하여 산술 연산을 수행합니다. 기계 산술은 Z3Py에서 비트 벡터로 사용할 수 있습니다.

from z3 import *

x = BitVec('x', 16) #Bit vector variable "x" of length 16 bit
y = BitVec('y', 16)

e = BitVecVal(10, 16) #Bit vector with value 10 of length 16bits
a = BitVecVal(-1, 16)
b = BitVecVal(65535, 16)
print(simplify(a == b)) #This is True!
a = BitVecVal(-1, 32)
b = BitVecVal(65535, 32)
print(simplify(a == b)) #This is False

부호 있는/부호 없는 숫자

Z3는 비트 벡터가 부호 있는지 없는지에 따라 다른 방식으로 처리되는 특수한 부호 있는 버전의 산술 연산을 제공합니다. Z3Py에서 <, <=, >, >=, /, % 및 >> 연산자는 부호 있는 버전에 해당합니다. 이에 대응하는 부호 없는 연산자는 ULT, ULE, UGT, UGE, UDiv, URem 및 LShR입니다.

from z3 import *

# Create to bit-vectors of size 32
x, y = BitVecs('x y', 32)
solve(x + y == 2, x > 0, y > 0)

# Bit-wise operators
# & bit-wise and
# | bit-wise or
# ~ bit-wise not
solve(x & y == ~y)
solve(x < 0)

# using unsigned version of <
solve(ULT(x, 0))

함수

해석 함수는 **함수 +**가 고정된 표준 해석을 가지는 산술과 같은 함수입니다. 해석되지 않은 함수와 상수는 최대한 유연합니다. 이들은 함수나 상수에 대한 제약 조건과 일관성이 있는 어떤 해석이든 허용합니다.

예시: x에 대해 f를 두 번 적용하면 다시 x가 되지만, x에 대해 f를 한 번 적용하면 x와 다릅니다.

from z3 import *

x = Int('x')
y = Int('y')
f = Function('f', IntSort(), IntSort())
s = Solver()
s.add(f(f(x)) == x, f(x) == y, x != y)
s.check()
m = s.model()
print("f(f(x)) =", m.evaluate(f(f(x))))
print("f(x)    =", m.evaluate(f(x)))

print(m.evaluate(f(2)))
s.add(f(x) == 4) #Find the value that generates 4 as response
s.check()
print(m.model())

예제

스도쿠 퍼즐 풀이기

from z3 import *

def solve_sudoku(grid):
    # Create a 9x9 grid of integer variables
    cells = [[Int(f"cell_{i}_{j}") for j in range(9)] for i in range(9)]

    # Each cell must contain a value between 1 and 9
    cell_constraints = [And(1 <= cells[i][j], cells[i][j] <= 9) for i in range(9) for j in range(9)]

    # Each row must contain distinct values
    row_constraints = [Distinct(cells[i]) for i in range(9)]

    # Each column must contain distinct values
    col_constraints = [Distinct([cells[i][j] for i in range(9)]) for j in range(9)]

    # Each 3x3 subgrid must contain distinct values
    subgrid_constraints = [Distinct([cells[i + 3 * (k // 3)][j + 3 * (k % 3)] for i in range(3) for j in range(3)]) for k in range(9)]

    # Combine all constraints
    constraints = cell_constraints + row_constraints + col_constraints + subgrid_constraints

    # Create a solver and add the constraints
    solver = Solver()
    solver.add(constraints)

    # Add the initial values from the grid
    for i in range(9):
        for j in range(9):
            if grid[i][j] != 0:
                solver.add(cells[i][j] == grid[i][j])

    # Check if there is a solution
    if solver.check() == sat:
        # Get the solution
        model = solver.model()

        # Extract the values from the model
        solution = [[model.evaluate(cells[i][j]).as_long() for j in range(9)] for i in range(9)]

        return solution

    return None

# Example Sudoku grid
grid = [
    [5, 3, 0, 0, 7, 0, 0, 0, 0],
    [6, 0, 0, 1, 9, 5, 0, 0, 0],
    [0, 9, 8, 0, 0, 0, 0, 6, 0],
    [8, 0, 0, 0, 6, 0, 0, 0, 3],
    [4, 0, 0, 8, 0, 3, 0, 0, 1],
    [7, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 6],
    [0, 6, 0, 0, 0, 0, 2, 8, 0],
    [0, 0, 0, 4, 1, 9, 0, 0, 5],
    [0, 0, 0, 0, 8, 0, 0, 7, 9]
]

# Solve the Sudoku puzzle
solution = solve_sudoku(grid)

# Print the solution
if solution:
    for row in solution:
        print(row)
else:
    print("No solution found.")

from z3 import *

def solve_sudoku(grid):
    # 9x9 그리드의 정수 변수 생성
    cells = [[Int(f"cell_{i}_{j}") for j in range(9)] for i in range(9)]

    # 각 셀은 1부터 9까지의 값을 가져야 함
    cell_constraints = [And(1 <= cells[i][j], cells[i][j] <= 9) for i in range(9) for j in range(9)]

    # 각 행은 서로 다른 값을 가져야 함
    row_constraints = [Distinct(cells[i]) for i in range(9)]

    # 각 열은 서로 다른 값을 가져야 함
    col_constraints = [Distinct([cells[i][j] for i in range(9)]) for j in range(9)]

    # 각 3x3 서브그리드는 서로 다른 값을 가져야 함
    subgrid_constraints = [Distinct([cells[i + 3 * (k // 3)][j + 3 * (k % 3)] for i in range(3) for j in range(3)]) for k in range(9)]

    # 모든 제약 조건을 결합
    constraints = cell_constraints + row_constraints + col_constraints + subgrid_constraints

    # Solver 생성 및 제약 조건 추가
    solver = Solver()
    solver.add(constraints)

    # 그리드에서 초기 값 추가
    for i in range(9):
        for j in range(9):
            if grid[i][j] != 0:
                solver.add(cells[i][j] == grid[i][j])

    # 해결책이 있는지 확인
    if solver.check() == sat:
        # 해결책 가져오기
        model = solver.model()

        # 모델에서 값 추출
        solution = [[model.evaluate(cells[i][j]).as_long() for j in range(9)] for i in range(9)]

        return solution

    return None

# 예제 스도쿠 그리드
grid = [
    [5, 3, 0, 0, 7, 0, 0, 0, 0],
    [6, 0, 0, 1, 9, 5, 0, 0, 0],
    [0, 9, 8, 0, 0, 0, 0, 6, 0],
    [8, 0, 0, 0, 6, 0, 0, 0, 3],
    [4, 0, 0, 8, 0, 3, 0, 0, 1],
    [7, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 6],
    [0, 6, 0, 0, 0, 0, 2, 8, 0],
    [0, 0, 0, 4, 1, 9, 0, 0, 5],
    [0, 0, 0, 0, 8, 0, 0, 7, 9]
]

# 스도쿠 퍼즐 풀기
solution = solve_sudoku(grid)

# 해결책 출력
if solution:
    for row in solution:
        print(row)
else:
    print("해결책을 찾을 수 없습니다.")

# 9x9 matrix of integer variables
X = [ [ Int("x_%s_%s" % (i+1, j+1)) for j in range(9) ]
for i in range(9) ]

# each cell contains a value in {1, ..., 9}
cells_c  = [ And(1 <= X[i][j], X[i][j] <= 9)
for i in range(9) for j in range(9) ]

# each row contains a digit at most once
rows_c   = [ Distinct(X[i]) for i in range(9) ]

# each column contains a digit at most once
cols_c   = [ Distinct([ X[i][j] for i in range(9) ])
for j in range(9) ]

# each 3x3 square contains a digit at most once
sq_c     = [ Distinct([ X[3*i0 + i][3*j0 + j]
for i in range(3) for j in range(3) ])
for i0 in range(3) for j0 in range(3) ]

sudoku_c = cells_c + rows_c + cols_c + sq_c

# sudoku instance, we use '0' for empty cells
instance = ((0,0,0,0,9,4,0,3,0),
(0,0,0,5,1,0,0,0,7),
(0,8,9,0,0,0,0,4,0),
(0,0,0,0,0,0,2,0,8),
(0,6,0,2,0,1,0,5,0),
(1,0,2,0,0,0,0,0,0),
(0,7,0,0,0,0,5,2,0),
(9,0,0,0,6,5,0,0,0),
(0,4,0,9,7,0,0,0,0))

instance_c = [ If(instance[i][j] == 0,
True,
X[i][j] == instance[i][j])
for i in range(9) for j in range(9) ]

s = Solver()
s.add(sudoku_c + instance_c)
if s.check() == sat:
m = s.model()
r = [ [ m.evaluate(X[i][j]) for j in range(9) ]
for i in range(9) ]
print_matrix(r)
else:
print "failed to solve"

참고 자료

https://ericpony.github.io/z3py-tutorial/guide-examples.htm

htARTE (HackTricks AWS Red Team Expert)를 통해 제로에서 영웅까지 AWS 해킹을 배워보세요!

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Last updated 2 months ago